Modelado de Motores DC

 Para poder usar adecuadamente un motor es necesario conocer sus características y estudiar su comportamiento en las condiciones en que será usado, en esta entrada se propone el uso de LTspice para el análisis, procurando integrar el comportamiento mecánico y térmico del motor. LTspice, es un software de simulación, aunque gratuito, no es libre, esta basado en Spice, y es desarrollado por Linear Technology, incluye mejoras que lo hacen recomendable para simular circuitos que trabajen en modo de conmutación, aunque bien sirve para cualquier tipo de simulación análogica.Para descargarlo, acceder al siguiente enlace: Descargar LTspice Para modelar un motor se debe recurrir a parámetros proporcionados en hojas de datos de fabricantes, o en su defecto recurrir a mediciones y captura de datos, que permitan obtener los parámetros de un modelo dado y posteriormente, estudiar el comportamiento del motor. Un motor DC esta constituido de dos partes, el rotor y el estátor, en el rotor encontramos un bobinado, el cual presenta un comportamiento Resistivo que se debe a la resistencia del cable bobinado, mas un comportamiento inductivo, este debido a la bobina arrollada sobre el núcleo, adicionalmente , se tiene una caída de tensión interna conocida como fuerza contraelectromotriz.

Figura 1: Modelo Basico de un Motor DC

$v=Ri+L\dfrac{di}{dt}+v_e$.............................(1)

Donde: $v$ es el voltaje aplicado. $R$ y $L$ son la resistencia e inductancia del bobinado, respectivamente. $i$ es la corriente en el motor. $v_e$ es la fuerza contraelectromotriz.

La ecuación (1) se complementa con otra que relaciona el torque y la velocidad angular en el eje del motor:
 $T_M=J\dfrac{d\omega}{dt}+B\omega+T_L$..............................(2)

Donde: $J$ es la inercia del rotor. $B$ es el coeficiente de fricción. $T_M$ es el torque Entregado + Pérdidas. $T_L$ es el torque en la carga. Con la ecuación (2), se puede crear un circuito eléctrico que modele, la relación entre $T_M$, $T_L$ y $\omega$, de tal manera que se pueda estudiar la relación entre ese conjunto de variables.

Figura 2: Circuito que modela el comportamiento mecánico

Este circuito representa una analogía eléctrica de la ecuación (2) $I1=C\dfrac{dv}{dt}+(\frac{1}{R})v+I2$ Esta ecuación representa al circuito de la Figura 2, notar que la tensión es la misma para todos los elementos, por estar en paralelo, y representa a la velocidad angular en el motor. Este es un paralelo entre la ecuación mecánica y su circuito eléctrico equivalente: $I1$ representa a $T_M$ $R$ representa a $1/B$, es decir la inversa del valor de la fricción. $C$ representa a $J$, la inercia del rotor $I2$ representa al torque de carga aplicado al eje del motor. $v$ que llamaremos a la tensión en los nodos marcados como salidas, representa a la velocidad angular. Debido a que ambos circuitos modelan las relaciones entre las variables eléctricas y mecánicas del motor, pero lo hacen por separado, es necesario, juntarlas en un mismo modelo y en base a este crear una simulación. Las ecuaciones que generan la interacción entre ambos circuitos se obtienen de la relación entre $T_M$ e $i$ y entre $v_e$ y $\omega$: Entre el torque y la corriente existe una proporcionalidad, determinada por una llamada constante de torque $K_i$.
$T_M=K_ii$.............................(3)

 Entre la velocidad angular del motor y la fuerza contraelectromotriz la relación es. $v_e=K_e\omega$..............................(4)

 De tal manera que en la Figura1 la fuente de tensión $v_e$ no es una fuente independiente sino una fuente dependiente del valor de $\omega$, de la misma manera en la Figura 2, la fuente de Intensidad $I1$ es dependiente del valor de la corriente en el primer circuito, en LTspice, como en otros simuladores estos comportamientos se modelan usando fuentes dependientes "e" que son fuentes de tensión controladas por tensión y fuentes "f" que son fuentes de corriente controladas por corriente.

Figura 3: Modelo que interacciona el comportamiento eléctrico y mecánico

En la Figura 3, se puede observar que la fuente $Ke$ es una fuente "e" y depende de la tensión en el Nodo W (con respecto al nodo de Tierra o GND)la fuente $Ki$ es una fuente "f" cuya tensión de control es la corriente $i$ que recorre a todos los elementos del primer circuito, la salida de $K_i$ representa al torque y la salida de la fuente $K_e$ representa a la fuerza contralectromotriz. El circuito de la Figura 3, será usado para modelar el comportamiento de un motor MAXON RE30, el cual viene disponible en 5 diferentes tensiones nominales: 12V, 18V 24V, 36V, 48V. Los datos técnicos para este tipo de motor, lo encontramos en: Motor Maxon RE30

 

Figura 4: Datos técnicos del motor Maxon RE30

A modo de ejemplo, el modelado se llevara a cabo con el motor de $12V$, para este motor, los parámetros a usar son:

Tabla 1: Datos técnicos Necesarios para el Modelado

Terminal Resistance	Terminal Inductance	Rotor Inertia	Torque Constant	Speed Constant	No Load Current	No Load Speed
$0.198 \Omega$	$0.0345 mH$	$33.5gcm^2$	$13.9 mN m/A$	$685 rpm/V$	$300 mA$	$8170 rpm$

Antes de proseguir, se debe establecer las unidades, de las variables involucradas.

Tabla 2: Unidades SI

Variable:	Tensión	Corriente	Torque	Velocidad Angular
Unidad:	$V$	$A$	$N m$	$rad/s$

Convirtiendo los valores de la tabla anterior a las unidades convenidas:

Tabla 3: Datos de la tabla 1 convertidos al SI

Terminal Resistance	Terminal Inductance	Rotor Inertia	Torque Constant	Speed Constant	No Load Current	No Load Speed
$0.198 \Omega$	$34.5 \mu H$	$3.35\mu Kg.m^2$	$13.9m \frac{Nm }{A}$	$71.73\frac{rad/s}{V}$	$0.3A$	$855.6\frac{rad}{s}$

La contante $B$ modela las perdidas por fricción, para obtenerla analicemos el circuito de la Figura 3 en estado estacionario y para condiciones en que el torque de carga es nulo, con lo cual se anulan el efecto del inductor y el capacitor (inercia del rotor), con esto el modelo se reduce a la Figura 5.

Figura 5: Equivalente del modelo del motor, en estado permanente en condiciones sin carga

De la Figura 5, podemos deducir: $K_ii=B\omega$. Con lo que $B=K_ii/\omega$, donde $i$ es la corriente en condiciones sin carga (en la tabla es :"No Load Current") y $\omega$ es velocidad angular en condiciones sin carga (en la tabla es: "No Load Speed"), usando los valores de la Tabla 3 tenemos $B=4.874x10^-6\frac{Nm}{rad/s}$ El valor de $K_e$, es el inverso de la "Speed Constant", consignada en la Tabla 3, notar que es prácticamente igual a $K_i$, por lo que en caso de no ser consignada una de las dos se puede usar el mismo valor para ambas. Con esto, se tiene que los parámetros deben tener los siguientes valores:

Tabla 4: Valores de los Parámetros

$R$	$L$	$J$	$K_i$	$K_e$	$B$
$0.198 \Omega$	$34.5 \mu H$	$3.35\mu Kg.m^2$	$13.9m \frac{Nm }{A}$	$13.94m\frac{V}{rad/s}$	$4.874\mu\frac{Nm}{rad/s}$

Hasta aquí ya se calcularon todos los valores de los parámetros necesarios para el modelo propuesto, la mayoría se obtienen directamente de la hoja de datos, otros se deben convertir a unidades Estándar, y solo uno calcularlo en base a datos de la hoja técnica.lo que sigue, sería, ingresarlos en LTspice.

Figura 6: Modelo para el motor Maxon

Los Valores de $R1$, $L1$, $C1$ y $V1$, se ingresan directamente La fuente E1 se configura así:

Figura 8: Configuración de la fuente E1

La fuente F1 se configura así:

Figura 8: Configuración de la fuente F1

El valor de $R2$ que se debe ingresar corresponde al inverso de $B$, es decir $R2=1/B=205.17k$. Como debe ser obvio, la equivalencia del circuito propuesto para analizar el comportamiento del motor es a nivel numérico, a nivel de unidades de medida cada magnitud mecánica estará según le corresponda en la Tabla 2, es decir el Torque en $Nm$ (en el simulador aparecerá en $A$), y la velocidad angular en $rad/s$ (en el simulador aparecerá en $V$).  

Testeando el modelo:
 

Figura 9: Curvas de Torque vs Velocidad angular, a diferentes tensiones

Estas curvas muestran la relación entre el torque y la velocidad angular, el punto de trabajo exacto, lo determinaran la carga mecánica acoplada al motor, si lo que queremos es estudiar el desempeño del motor con una cierta carga, es necesario realizar un modelado de la carga e ingresarlo a Ltspice y estudiar la respuesta.

Figura 10: Respuesta transitoria de velocidad a diferentes tensiones

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Figura 11: Curvas de Torque vs Potencia, en varios valores de tensión

La Figura 11, muestra la potencia mecánica que puede suministrar el motor, en función del torque, observar que en la Figura 4 (Datos de Maxon), el valor nominal de potencia es $60W$ y el valor nominal de torque es de $51.7mNm$, esto significa que aunque el motor puede sobrepasar estos valores, no es saludable para su vida útil, que lo haga por mucho tiempo.

Figura 12: Curvas de Torque vs Eficiencia, en varios valores de tensión

Hasta aquí se ha logrado construir un modelo que emula el comportamiento eléctrico y mecánico del motor, además de lo que se muestra, se puede támbien graficar el diagrama de Bode de la respuesta en frecuencia del motor, se pueden también estudiar los efectos de diversas cargas, respuesta a una señal PWM, mostrar el desempeño en un sistema de control, en fin, bastantes posibilidades adicionales. Si bien el presente análisis se ha llevado a cabo con datos ya proporcionados por el fabricante, en caso de no disponer de ellos, se puede modelar experimentalmente el motor y la carga y adecuarlo al modelo propuesto, para llevar a cabo diferentes análisis. El mismo análisis se puede llevar a cabo usando algún otro simulador de circuitos, con similares resultados, se pueden realizar cálculos referentes al transitorio, como referentes al estado permanente (por ejemplo curvas de torque y velocidad).